UC知道已知递推公式a[n+1]=sqrt(a[n])+K
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/28 09:42:48
a[1]=n(n∈R+)
求lim(n->∞)a[n]是什么(用K表示出来),
求a[n]的通项公式.
a[1]搞错了啊
a[1]=m(m∈R+)
重要的是过程
其实我也不知道有没有通项公式,但是当K=2,m=2特殊的时候,是可以求出通项公式的
方法如下:
设2cosx=sqrt(2)
则
a[2]=sqrt(2)+2=4cos^2(x/2)
a[3]=sqrt(a[2])+2
=2cos(x/2)+2
=2(cos(x/2)+cos(0))
=4(cos^2(x/4))
再用数学归纳法
可以得到
a[n]=4cos^2(x/(2^(n-1)))
极限易求
但是推广不了~~
当m=√m+K，则a[n]=K，否则
首先证明lima[n] (n->∞)存在
由于a[n+1]=sqrt(a[n])+K>K≥1
所以从a[2]起后面各项必大于1
令b[n]=√a[n+1]-√a[n],当n≥2时
a[n+2]-a[n+1]=√a[n+1]-√a[n]=(√a[n+2]+√a[n+1])(√a[n+2]-√a[n+1])
若b[2]>0,则b[n]>0,b[n+1]<(1/2)b[n]
√a[n]-√a[2]=∑b[n](n从2到n-1)<b[2](1+1/2+1/4+…+1/2^(n-2)<2b[2]
若b[2]<0,则b[n]<0,1<a[n]<a[2],故{a[n]}有界
又由于a[n+2]-a[n+1]=√a[n+1]-√a[n],a[n+2]-a[n+1]与a[n+1]-a[n]同号，所以n>1时{a[n]}单调
故lima[n](n->∞)存在
令lima[n](n->∞)=A，两边取极限A=√A+K取合适的根即可
通项公式应该没有，只有n重根号叠加的根式
a[n]极限存在性要参考楼上的
设lim(n->∞)a[n]＝x；则lim(n->∞)a[n＋1]＝x
因为a[n+1]=sqrt(a[n])+K(K∈N)
lim(n->∞)a[n+1]=lim(n->∞)（sqrt(a[n])+K）
lim(n->∞)a[n+1]=sqrt(lim(n->∞)a[n])+K（需要证明，见后面)
x=sqrt(x)+K
x^2-2kx+k^2=x
解出x，舍去负根
因为a[n]存在极限x，所以对于任意e>0,设e0=e*(sqrt(G)+sqrt(x)) 存在N>0
使n>N时，a[n]有界，即存在G>0,使abs(a[n])<G
且abs(a[n]-x)<e*abs(sqrt(a[n])+sqrt(x))<e*(sqrt(G)